Algèbre linéaire Exemples

(3 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & 4 & 4 \\ 0 & - 2 & 8 \\ - 6 & 3 & 5 \end{array}]

$(3 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & 4 & 4 \\ 0 & - 2 & 8 \\ - 6 & 3 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

6 [\begin{array}{c} 1 & 4 & 4 \\ 0 & - 2 & 8 \\ - 6 & 3 & 5 \end{array}]

$6 [\begin{array}{c} 1 & 4 & 4 \\ 0 & - 2 & 8 \\ - 6 & 3 & 5 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez

6

$6$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 4 & 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 4 & 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.1

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 4 & 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 4 & 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.2

Multipliez

6

$6$ par

4

$4$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez

6

$6$ par

4

$4$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez

6

$6$ par

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & 6 \cdot - 2 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez

6

$6$ par

- 2

$- 2$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez

6

$6$ par

8

$8$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ 6 \cdot - 6 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.7

Multipliez

6

$6$ par

- 6

$- 6$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 6 \cdot 3 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.8

Multipliez

6

$6$ par

3

$3$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 18 & 6 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 18 & 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.9

Multipliez

6

$6$ par

5

$5$ .

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 18 & 30 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 18 & 30 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 18 & 30 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 24 & 24 \\ 0 & - 12 & 48 \\ - 36 & 18 & 30 \end{array}]$

Étape 4

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 4.1

Consider the corresponding sign chart.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 4.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} |$

Étape 4.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} |

$6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} |$

Étape 4.5

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} |$

Étape 4.6

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

0 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} |$

Étape 4.7

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 4.8

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

- 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$- 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 4.9

Add the terms together.

6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} | - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} | - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} | - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} | - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 5

Multipliez

0

$0$ par

| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ 18 & 30 \end{array} |$ .

6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} | + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 | \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} | + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 6

Évaluez

| \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 12 & 48 \\ 18 & 30 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

6 (- 12 \cdot 30 - 18 \cdot 48) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 (- 12 \cdot 30 - 18 \cdot 48) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez

- 12

$- 12$ par

30

$30$ .

6 (- 360 - 18 \cdot 48) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 (- 360 - 18 \cdot 48) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

- 18

$- 18$ par

48

$48$ .

6 (- 360 - 864) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 (- 360 - 864) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

6 (- 360 - 864) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 (- 360 - 864) + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Soustrayez

864

$864$ de

- 360

$- 360$ .

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 | \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$

Étape 7

Évaluez

| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 24 & 24 \\ - 12 & 48 \end{array} |$ .

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Étape 7.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (24 \cdot 48 - (- 12 \cdot 24))

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (24 \cdot 48 - (- 12 \cdot 24))$

Étape 7.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez

24

$24$ par

48

$48$ .

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 - (- 12 \cdot 24))

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 - (- 12 \cdot 24))$

Étape 7.2.1.2

Multipliez

- (- 12 \cdot 24)

$- (- 12 \cdot 24)$ .

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Étape 7.2.1.2.1

Multipliez

- 12

$- 12$ par

24

$24$ .

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 - - 288)

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 - - 288)$

Étape 7.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 288

$- 288$ .

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 + 288)

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 + 288)$

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 + 288)

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 + 288)$

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 + 288)

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 (1152 + 288)$

Étape 7.2.2

Additionnez

1152

$1152$ et

288

$288$ .

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 \cdot 1440

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 \cdot 1440$

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 \cdot 1440

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 \cdot 1440$

6 \cdot - 1224 + 0 - 36 \cdot 1440

$6 \cdot - 1224 + 0 - 36 \cdot 1440$

Étape 8

Simplifiez le déterminant.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez

6

$6$ par

- 1224

$- 1224$ .

- 7344 + 0 - 36 \cdot 1440

$- 7344 + 0 - 36 \cdot 1440$

Étape 8.1.2

Multipliez

- 36

$- 36$ par

1440

$1440$ .

- 7344 + 0 - 51840

$- 7344 + 0 - 51840$

- 7344 + 0 - 51840

$- 7344 + 0 - 51840$

Étape 8.2

Additionnez

- 7344

$- 7344$ et

0

$0$ .

- 7344 - 51840

$- 7344 - 51840$

Étape 8.3

Soustrayez

51840

$51840$ de

- 7344

$- 7344$ .

- 59184

$- 59184$

- 59184

$- 59184$